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三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

  • admin
  • 2019-11-21 11:26
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三线合一的定理怎么用?

“三线合一”的前提条件为:等腰三角形

顶角的角平分线,底边上的高,底边上的中线,三条线互相重合。

     如图,△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点.

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

(1)若AD是等腰△ABC底边BC上的中线,那么AD是顶角∠BAC的平分线,AD是底边BC上的高线;

(2)若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线,那么AD是底边BC上的中线,AD是底边BC上的高线;

(3)若AD是等腰△ABC底边BC上的高线,那么AD是顶角∠BAC的平分线,AD是底边BC上的中线.

“三线合一”性质可以有效地证明角相等、直线垂直、线段相等,这种方法可以简化证明过程。

例1. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是底边BC边上的中线,点E在AD上。求证:BE=CE。

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

证明:∵AB=AC

      ∵AD是底边BC边上的中线

      ∴AD⊥BC(三线合一)

∴AD是线段BC的垂直平分线

∴BE=CE

例2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:DE=DF.

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

证明:连接AD.

∵AB=AC,BD=CD,

∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.

∴AD平分∠BAC.

∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

∴DE=DF.

    例3.如图,△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于E,,E在△ABC外,求证:∠ACE=∠B。

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

 

例4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证:∠CBD=∠BAC.

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

例5.如图,在△ABC中,AB=AC,D在BA的延长线上,E在AC上,且AD=AE,求证:DE⊥BC.

三线合一的定理怎么用?被遗忘的几何方法“三线合一”

证明:过A作AF⊥BC于F.

∵AB=AC,AF⊥BC于F,

∴AF是BC的高.

∴AF平分∠BAC.

∴∠BAC=2∠BAF.

∵AD=AE,

∴∠D=∠AED.

∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D.

∴∠BAF=∠D,DE∥AF.

∴DE⊥BC.

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